Matriser og egenverdiproblemer: Egenverdier og egenvektorer Oppgaver med egenverdier
Publisert 1. november 2023 Velg type oppgaver:
Antall oppgaver: 28
Oppgave 1 Gitt en vektor og en matrise:
$$\vec{v} = \left( \begin{array}{c} 4 \\ 2 \end{array} \right), \quad A = \left( \begin{array}{cc} 1 & 0 \\ 0 & 3 \end{array} \right)$$ Regn ut $A\vec{v}$ . Beskriv hva $A$ gjør med vektor $\vec{v}$ . Hint for a) Hint for b) Løsning Fasit
Oppgave 2 Gitt en vektor og en matrise:
$$\vec{v} = \left( \begin{array}{c} 1 \\ 8 \\ 3 \end{array} \right), \quad A = \left( \begin{array}{ccc} 2 & 0 & 0 \\ 0 & \frac{1}{2} & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{array} \right)$$ Regn ut $A\vec{v}$ . Beskriv hva $A$ gjør med vektor $\vec{v}$ . Hint for a) Hint for b) Løsning Fasit
Oppgave 3 En lineær vektortransformasjon er gitt ved $A\vec{v} = \vec{w}$ . Finn en $2 \times 2$ matrise $A$ slik at den transformerte vektoren $\vec{w}$ peker i samme retning som $\vec{v}$ , og er dobbelt så lang som $\vec{v}$ .
Oppgave 4 En lineær vektortransformasjon er gitt ved $A\vec{v} = \vec{w}$ . Finn en $2 \times 2$ matrise $A$ slik at den dobler første element og gir motsatt fortegn til andre element.
Oppgave 5 En lineær vektortransformasjon er gitt ved $A\vec{v} = \vec{w}$ . Finn en $2 \times 2$ matrise $A$ slik at første og andre element i $\vec{v}$ bytter plass i den transformerte vektoren $\vec{w}$ .
Oppgave 6 Gitt en matrise:
$$A = \left( \begin{array}{cc} 1 & 4 \\ -4 & -7 \end{array} \right)$$ Er $\vec{x} = \left( \begin{array}{c} 1 \\ -1 \end{array} \right)$ en egenvektor for $A$ ? Finn i så fall tilhørende egenverdi. Er $\vec{x} = \left( \begin{array}{c} 1 \\ 2 \end{array} \right)$ en egenvektor for $A$ ? Finn i så fall tilhørende egenverdi. Oppgave 7 Gitt en matrise:
$$A = \left( \begin{array}{cc} 3 & 1 \\ 0 & 2 \end{array} \right)$$ Er $\vec{x} = \left( \begin{array}{c} 1 \\ 0 \end{array} \right)$ en egenvektor for $A$ ? Finn i så fall tilhørende egenverdi. Er $\vec{x} = \left( \begin{array}{c} 1 \\ 1 \end{array} \right)$ en egenvektor for $A$ ? Finn i så fall tilhørende egenverdi. Oppgave 8 Gitt en matrise:
$$A = \left( \begin{array}{ccc} 2 & 0 & 0 \\ 0 & 3 & 1 \\ 0 & 0 & 3 \end{array} \right)$$ Er $\vec{x} = \left( \begin{array}{c} 1 \\ 0 \\ 0 \end{array} \right)$ en egenvektor for $A$ ? Finn i så fall tilhørende egenverdi. Er $\vec{x} = \left( \begin{array}{c} 0 \\ 1 \\ 1 \end{array} \right)$ en egenvektor for $A$ ? Finn i så fall tilhørende egenverdi. Oppgave 9 Gitt en matrise:
$$A = \left( \begin{array}{ccc} 0 & -1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 2 \end{array} \right)$$ Er $\vec{x} = \left( \begin{array}{c} 1 \\ i \\ 0 \end{array} \right)$ en egenvektor for $A$ ? Finn i så fall tilhørende egenverdi. Er $\vec{x} = \left( \begin{array}{c} 0 \\ 0 \\ 1 \end{array} \right)$ en egenvektor for $A$ ? Finn i så fall tilhørende egenverdi. Oppgave 10 Gitt en matrise:
$$A = \left( \begin{array}{cc} -2 & 4 \\ 1 & 1 \end{array} \right)$$ Finn egenverdien(e) til $A$ . Finn egenvektorer til hver egenverdi. Oppgave 11 Gitt en matrise:
$$A = \left( \begin{array}{cc} 2 & 1 \\ 3 & 4 \end{array} \right)$$ Finn egenverdien(e) til $A$ . Finn egenvektorer til hver egenverdi. Oppgave 12 Gitt en matrise:
$$A = \left( \begin{array}{cc} 2 & -5 \\ 1 & -2 \end{array} \right)$$ Finn egenverdien(e) til $A$ . Finn egenvektorer til hver egenverdi. Oppgave 13 Gitt en matrise:
$$A = \left( \begin{array}{cc} 1 & 1 \\ 1 & 1 \end{array} \right)$$ Finn egenverdien(e) til $A$ . Finn egenvektorer til hver egenverdi. Oppgave 14 Gitt en matrise:
$$A = \left( \begin{array}{cc} 2 & 0 \\ 0 & 2 \end{array} \right)$$ Finn egenverdien(e) til $A$ . Finn egenvektorer til hver egenverdi. Oppgave 15 Gitt en matrise:
$$A = \left( \begin{array}{cc} 4 & 5 \\ -1 & 2 \end{array} \right)$$ Finn egenverdien(e) til $A$ . Finn egenvektorer til hver egenverdi. Oppgave 16 Gitt en matrise:
$$A = \left( \begin{array}{ccc} 4 & 1 & 3 \\ 0 & 2 & 0 \\ 4 & 6 & 0 \end{array} \right)$$ Finn egenverdien(e) til $A$ . Finn egenvektorer til hver egenverdi. Oppgave 17 Gitt en matrise:
$$A = \left( \begin{array}{ccc} 1 & 2 & 0 \\ -1 & 4 & 0 \\ 2 & 1 & 3 \end{array} \right)$$ Finn egenverdien(e) til $A$ . Finn egenvektorer til hver egenverdi. Oppgave 18 Gitt en matrise:
$$A = \left( \begin{array}{cc} -1 & 2 \\ 7 & 4 \end{array} \right)$$ Finn egenverdien(e) til $A$ . Finn egenvektorer til hver egenverdi. Kan $A$ diagonaliseres? Dersom mulig, finn en matrise $D$ og en matrise $P$ slik at $A = PDP^{-1}$ . Finn $P^{-1}$ dersom $P$ eksisterer. Regn ut $A^5$ . Tips: Hvis du ønsker å øve på diagonalisering, kan du finne svarene på a) og b) i løsningsforslaget/fasit.
Hint for a) Hint for b) Hint for c) Hint for d) Hint for e) Hint for f) Løsning Fasit
Oppgave 19 Gitt en matrise:
$$A = \left( \begin{array}{cc} 2 & 3 \\ 2 & -3 \end{array} \right)$$ Finn egenverdien(e) til $A$ . Finn egenvektorer til hver egenverdi. Kan $A$ diagonaliseres? Dersom mulig, finn en matrise $D$ og en matrise $P$ slik at $A = PDP^{-1}$ . Finn $P^{-1}$ dersom $P$ eksisterer. Regn ut $A^6$ . Tips: Hvis du ønsker å øve på diagonalisering, kan du finne svarene på a) og b) i løsningsforslaget/fasit.
Hint for a) Hint for b) Hint for c) Hint for d) Hint for e) Hint for f) Løsning Fasit
Oppgave 20 Gitt en matrise:
$$A = \left( \begin{array}{cc} 4 & -3 \\ 3 & -2 \end{array} \right)$$ Finn egenverdien(e) til $A$ . Finn egenvektorer til hver egenverdi. Kan $A$ diagonaliseres? Dersom mulig, finn en matrise $D$ og en matrise $P$ slik at $A = PDP^{-1}$ . Finn $P^{-1}$ dersom $P$ eksisterer. Regn ut $A^3$ . Tips: Hvis du ønsker å øve på diagonalisering, kan du finne svarene på a) og b) i løsningsforslaget/fasit.
Hint for a) Hint for b) Hint for c) Hint for d) Hint for e) Hint for f) Løsning Fasit
Oppgave 21 Gitt en matrise:
$$A = \left( \begin{array}{cc} 1 & 4 \\ 1 & -2 \end{array} \right)$$ Finn egenverdien(e) til $A$ . Finn egenvektorer til hver egenverdi. Kan $A$ diagonaliseres? Dersom mulig, finn en matrise $D$ og en matrise $P$ slik at $A = PDP^{-1}$ . Finn $P^{-1}$ dersom $P$ eksisterer. Regn ut $A^6$ . Tips: Hvis du ønsker å øve på diagonalisering, kan du finne svarene på a) og b) i løsningsforslaget/fasit.
Hint for a) Hint for b) Hint for c) Hint for d) Hint for e) Hint for f) Løsning Fasit
Oppgave 22 Gitt en matrise:
$$A = \left( \begin{array}{cc} 0 & 3 \\ 3 & 0 \end{array} \right)$$ Finn egenverdien(e) til $A$ . Finn egenvektorer til hver egenverdi. Kan $A$ diagonaliseres? Dersom mulig, finn en matrise $D$ og en matrise $P$ slik at $A = PDP^{-1}$ . Finn $P^{-1}$ dersom $P$ eksisterer. Regn ut $A^8$ . Tips: Hvis du ønsker å øve på diagonalisering, kan du finne svarene på a) og b) i løsningsforslaget/fasit.
Hint for a) Hint for b) Hint for c) Hint for d) Hint for e) Hint for f) Løsning Fasit
Oppgave 23 Gitt en matrise:
$$A = \left( \begin{array}{cc} 0 & -3 \\ 3 & 0 \end{array} \right)$$ Finn egenverdien(e) til $A$ . Finn egenvektorer til hver egenverdi. Kan $A$ diagonaliseres? Dersom mulig, finn en matrise $D$ og en matrise $P$ slik at $A = PDP^{-1}$ . Finn $P^{-1}$ dersom $P$ eksisterer. Regn ut $A^7$ . Tips: Hvis du ønsker å øve på diagonalisering, kan du finne svarene på a) og b) i løsningsforslaget/fasit.
Hint for a) Hint for b) Hint for c) Hint for d) Hint for e) Hint for f) Løsning Fasit
Oppgave 24 ★★ Gitt en matrise:
$$A = \left( \begin{array}{cc} 0 & 1 \\ -5 & 4 \end{array} \right)$$ Finn egenverdien(e) til $A$ . Finn egenvektorer til hver egenverdi. Kan $A$ diagonaliseres? Dersom mulig, finn en matrise $D$ og en matrise $P$ slik at $A = PDP^{-1}$ . Finn $P^{-1}$ dersom $P$ eksisterer. Tips: Hvis du ønsker å øve på diagonalisering, kan du finne svarene på a) og b) i løsningsforslaget/fasit.
Hint for a) Hint for b) Hint for c) Hint for d) Hint for e) Løsning Fasit
Oppgave 25 Gitt en matrise:
$$A = \left( \begin{array}{ccc} 1 & 4 & 0 \\ 1 & -2 & 0 \\ 3 & 1 & 2 \end{array} \right)$$ Finn egenverdien(e) til $A$ . Finn egenvektorer til hver egenverdi. Kan $A$ diagonaliseres? Dersom mulig, finn en matrise $D$ og en matrise $P$ slik at $A = PDP^{-1}$ . Finn $P^{-1}$ dersom $P$ eksisterer. Regn ut $A^2$ . Tips: Hvis du ønsker å øve på diagonalisering, kan du finne svarene på a) og b) i løsningsforslaget/fasit.
Hint for a) Hint for b) Hint for c) Hint for d) Hint for e) Hint for f) Løsning Fasit
Oppgave 26 Gitt en matrise:
$$A = \left( \begin{array}{ccc} 1 & 4 & 0 \\ 1 & -2 & 0 \\ 0 & 0 & 2 \end{array} \right)$$ Finn egenverdien(e) til $A$ . Finn egenvektorer til hver egenverdi. Kan $A$ diagonaliseres? Dersom mulig, finn en matrise $D$ og en matrise $P$ slik at $A = PDP^{-1}$ . Finn $P^{-1}$ dersom $P$ eksisterer. Regn ut $A^6$ . Tips: Hvis du ønsker å øve på diagonalisering, kan du finne svarene på a) og b) i løsningsforslaget/fasit.
Hint for a) Hint for b) Hint for c) Hint for d) Hint for e) Hint for f) Løsning Fasit
Oppgave 27 Gitt en matrise:
$$A = \left( \begin{array}{ccc} -1 & 1 & 2 \\ 0 & 3 & 0 \\ 7 & 3 & 4 \end{array} \right)$$ Finn egenverdien(e) til $A$ . Finn egenvektorer til hver egenverdi. Kan $A$ diagonaliseres? Dersom mulig, finn en matrise $D$ og en matrise $P$ slik at $A = PDP^{-1}$ . Tips: Hvis du ønsker å øve på diagonalisering, kan du finne svarene på a) og b) i løsningsforslaget/fasit.
Hint for a) Hint for b) Hint for c) Hint for d) Løsning Fasit
Oppgave 28 Gitt en matrise:
$$A = \left( \begin{array}{ccc} 0 & 0 & -2 \\ 2 & 1 & 3 \\ 2 & 0 & 0 \end{array} \right)$$ Finn egenverdien(e) til $A$ . Finn egenvektorer til hver egenverdi. Kan $A$ diagonaliseres? Dersom mulig, finn en matrise $D$ og en matrise $P$ slik at $A = PDP^{-1}$ . Tips: Hvis du ønsker å øve på diagonalisering, kan du finne svarene på a) og b) i løsningsforslaget/fasit.
Hint for a) Hint for b) Hint for c) Hint for d) Løsning Fasit
Dypdykk 
Bonus 
Video