Hvordan utledes Laplace formler?

Definisjonen for Laplace transformasjon:

• $F(\textcolor{red}{s})$ er en funksjon av en frekvensvariabel $s$.
• $f(\textcolor{blue}{t})$ er en funksjon av en tidsvariabel $t$.
• $\mathcal{L}(f(\textcolor{blue}{t}))$ er Laplace-transformasjonen til funksjonen $f(t)$.
• Laplace transformasjonen gjelder kun dersom integralet eksisterer.
• Ofte bruker vi tabeller for å finne Laplace transformasjonen.

Eksempel 1: Finn Laplace transformasjonen til $f(t) = e^{2t}$

Eksempel 2: Finn Laplace transformasjonen til $f(t) = e^{at}$

Eksempel 3: Finn Laplace transformasjonen til $f(t) = 1$

Eksempel 4: Finn Laplace transformasjonen til $f(t) = t$

Eksempel 5: Finn Laplace transformasjonen til $f(t) = u(t-2)$

Eksempel 6: Finn Laplace transformasjonen til $f(t) = u(t-a)$

Eksempel 7: Finn Laplace transformasjonen til $f(t) = tu(t-a)$

Eksempel 8: Finn Laplace transformasjonen til $f(t) = e^{2t}u(t-a)$

Eksempel 9: Finn Laplace transformasjonen til $f(t) = h(t)u(t-a)$

Eksempel 10: Finn Laplace transformasjonen til $f(t) = \delta(t)$

Eksempel 11: Finn Laplace transformasjonen til $f(t) = \delta(t-a)$

Eksempel 12: Finn Laplace transformasjonen til $f(t) = \sin(bt)$

Eksempel 13: Finn Laplace transformasjonen til $f(t) = \cos(bt)$