Funksjoner: Funksjoner av to variabler
Oppgaver med funksjoner av to variabler
Publisert 16. september 2025
Oppdatert 19. oktober 2025
Velg type oppgaver:
Antall oppgaver: 42
Tips 1: Husk at det ofte finnes flere måter å løse samme oppgave.
Tips 2: Gjør oppgavene du trenger, for å få den mengdetreningen du trenger.
Tips 3: Hvis du logger inn, kan du lagre hvilke oppgaver du har gjort.
Gitt en reell funksjon av to variable:
$$f(x,y) = x + \sqrt{y}$$- Hva blir $f(x,y)$ når $x = 3$ og $y = 4$?
- Finn største mulige definisjonsmengde for $f(x,y)$.
Gitt en reell funksjon av to variable:
$$f(x,y) = \frac{\sqrt{x - 2}}{y + 3}$$- Hva blir $f(x,y)$ når $x = 6$ og $y = -2$?
- Finn største mulige definisjonsmengde for $f(x,y)$.
Et rektangel har bredde $x$ og høyde $y$.
- Lag en funksjon $A(x,y)$ som gir arealet til rektangelet.
- Bruk funksjonen til å finne arealet til rektangelet når bredden er 6 meter og høyden er 2 meter.
En sylinder har radius $r$ og høyde $h$.
- Lag en funksjon $V(r,h)$ som gir volumet til sylinderen.
- Bruk funksjonen til å finne volumet til sylinderen når radius er 2 cm og høyden er 4 cm.
En bonde ønsker å sette opp et gjerde rundt et rektangulært område på jordet sitt. Området kan maksimalt være 14 meter i hver retning.
- Lag en funksjon $f(x,y)$ som beskriver lengden på gjerdet når området er $x$ meter bredt og $y$ meter langt.
- Hva er definisjonsmengden til $f(x,y)$.
- Bruk funksjonen fra a) til å finne gjerdets lengde når området er 12 meter bredt og 8 meter langt.
- Finn en funksjon $y = L(x)$ som gir lengden til området når gjerdets totale lengde er 40 meter.
- Finn minst tre punkt på nivåkurven $f(x,y) = 40$ og skisser nivåkurven $f(x,y) = 40$.
Gitt en funksjon:
$$f(x,y) = y - 2x$$- Skisser snittkurven mellom $z = f(x,y)$ og $xz$-planet.
- Skisser snittkurven mellom $z = f(x,y)$ og $yz$-planet.
- Skisser nivåkurvene $f(x,y) = -3$, $f(x,y) = 0$ og $f(x,y) = 3$.
Gitt en funksjon:
$$f(x,y) = 2y - x^2$$- Skisser snittkurven mellom $z = f(x,y)$ og $xz$-planet.
- Skisser snittkurven mellom $z = f(x,y)$ og $yz$-planet.
- Skisser nivåkurvene $f(x,y) = -4$, $f(x,y) = 0$ og $f(x,y) = 4$.
Gitt en funksjon:
$$f(x,y) = 2e^{x+y}$$- Skisser snittkurven mellom $z = f(x,y)$ og $xz$-planet.
- Skisser snittkurven mellom $z = f(x,y)$ og $yz$-planet.
- Skisser nivåkurvene $f(x,y) = e^{-2}$, $f(x,y) = 1$ og $f(x,y) = e^2$.
Gitt en funksjon:
$$f(x,y) = |xy|$$- Skisser snittkurven mellom $z = f(x,y)$ og $xz$-planet.
- Skisser snittkurven mellom $z = f(x,y)$ og $yz$-planet.
- Skisser nivåkurvene $f(x,y) = e^{-2}$, $f(x,y) = 1$ og $f(x,y) = e^2$.
Gitt en funksjon:
$$f(x,y) = \frac{y}{\cos(x)}$$- Skisser snittkurven mellom $z = f(x,y)$ og $xz$-planet.
- Skisser snittkurven mellom $z = f(x,y)$ og $yz$-planet.
- Skisser nivåkurvene $f(x,y) = 0$, $f(x,y) = 2$ og $f(x,y) = 4$.
Gitt en funksjon:
$$f(x,y) = \frac{(x+2)^2 + y}{x + 2}$$- Skisser snittkurven mellom $z = f(x,y)$ og $xz$-planet.
- Skisser snittkurven mellom $z = f(x,y)$ og $yz$-planet.
- Skisser nivåkurvene $f(x,y) = 0$, $f(x,y) = 2$ og $f(x,y) = 4$.
Gitt en funksjon:
$$f(x,y) = \frac{x^2 + 3y}{x + y}$$- Skisser snittkurven mellom $z = f(x,y)$ og $xz$-planet.
- Skisser snittkurven mellom $z = f(x,y)$ og $yz$-planet.
- Skisser nivåkurvene $f(x,y) = 0$, $f(x,y) = 2$ og $f(x,y) = 4$.
Gitt en funksjon:
$$f(x,y) = \sqrt{9 - x^2 - y^2}$$- Skisser snittkurven mellom $z = f(x,y)$ og $xz$-planet.
- Skisser snittkurven mellom $z = f(x,y)$ og $yz$-planet.
- Skisser nivåkurvene $f(x,y) = 0$, $f(x,y) = 2$ og $f(x,y) = \sqrt{8}$.
Gitt en funksjon:
$$f(x,y) = \frac{12x}{4 + x^2 + y^2}$$- Skisser snittkurven mellom $z = f(x,y)$ og $xz$-planet.
- Skisser snittkurven mellom $z = f(x,y)$ og $yz$-planet.
- Skisser nivåkurvene $f(x,y) = -2$, $f(x,y) = -0.5$, $f(x,y) = 0.5$ og $f(x,y) = 2$.
Finn grenseverdiene dersom de eksisterer:
a)
$$\lim_{(x,y) \to (2,3)} (2x - y^2) $$b)
$$\lim_{(x,y) \to (-1,2)} (x^2 + y) $$c)
$$\lim_{(x,y) \to (1,0)} \frac{x (y + 1)}{2 + x^2}$$Finn grenseverdiene dersom de eksisterer:
a)
$$\lim_{(x,y) \to (-2,2)} \frac{4x - y^2}{x} $$b)
$$\lim_{(x,y) \to (1,0)} \frac{x^2}{x^2 + y^2} $$c)
$$\lim_{(x,y) \to (2,0)} \frac{x (y + 1)}{x^2 \cos(y)}$$Gitt funksjonen:
$$f(x,y) = \frac{y}{1 + x^2}$$- Er funksjonen definert i punktet $(x,y) = (0,0)$?
- Finn grensen når $(x,y)$ går mot $(0,0)$ langs linjen $x=0$.
- Finn grensen når $(x,y)$ går mot $(0,0)$ langs linjen $y=0$.
- Finn grensen når $(x,y)$ går mot $(0,0)$ langs linjen $y=x$.
- Eksisterer grensen når $(x,y)$ går mot $(0,0)$?
Gitt funksjonen:
$$f(x,y) = \frac{y^2}{2y^2 - x^2}$$- Er funksjonen definert i punktet $(x,y) = (0,0)$?
- Finn grensen når $(x,y)$ går mot $(0,0)$ langs linjen $x=0$.
- Finn grensen når $(x,y)$ går mot $(0,0)$ langs linjen $y=0$.
- Finn grensen når $(x,y)$ går mot $(0,0)$ langs linjen $y=x$.
- Eksisterer grensen når $(x,y)$ går mot $(0,0)$?
Gitt funksjonen:
$$f(x,y) = \frac{2xy}{x + y - 1}$$- Er funksjonen definert i punktet $(x,y) = (1,0)$?
- Finn grensen når $(x,y)$ går mot $(1,0)$ langs linjen $x=1$.
- Finn grensen når $(x,y)$ går mot $(1,0)$ langs linjen $y=0$.
- Finn grensen når $(x,y)$ går mot $(1,0)$ langs linjen $y=x - 1$.
- Eksisterer grensen når $(x,y)$ går mot $(1,0)$?
Gitt funksjonen:
$$f(x,y) = \frac{xy}{x^2 + y^2}$$- Er funksjonen definert i punktet $(x,y) = (0,0)$?
- Finn grensen når $(x,y)$ går mot $(0,0)$ langs linjen $x=0$.
- Finn grensen når $(x,y)$ går mot $(0,0)$ langs linjen $y=0$.
- Finn grensen når $(x,y)$ går mot $(0,0)$ langs linjen $y=x$.
- Bruk polare koordinater for å finne grensen når $(x,y)$ går mot $(0,0)$.
- Eksisterer grensen når $(x,y)$ går mot $(0,0)$?
Gitt funksjonen:
$$f(x,y) = \frac{2x^2y}{x^4 + y^2}$$- Er funksjonen definert i punktet $(x,y) = (0,0)$?
- Finn grensen når $(x,y)$ går mot $(0,0)$ langs linjen $x=0$.
- Finn grensen når $(x,y)$ går mot $(0,0)$ langs linjen $y=0$.
- Finn grensen når $(x,y)$ går mot $(0,0)$ langs linjen $y=kx$.
- Finn grensen når $(x,y)$ går mot $(0,0)$ langs linjen $y=kx^2$.
- Eksisterer grensen når $(x,y)$ går mot $(0,0)$?
Gitt funksjonen:
$$f(x,y) = \frac{2x^2 - xy}{4x^2 - y^2}$$- Er funksjonen definert i punktet $(x,y) = (1,2)$?
- Finn grensen når $(x,y)$ går mot $(1,2)$ langs linjen $x=1$.
- Finn grensen når $(x,y)$ går mot $(1,2)$ langs linjen $y=2$.
- Finn grensen når $(x,y)$ går mot $(1,2)$ langs linjen $y=2 + k(x-1)$.
- Eksisterer grensen når $(x,y)$ går mot $(1,2)$?
Gitt funksjonen:
$$f(x,y) = \frac{3xy^2}{x^2 + y^2}$$- Er funksjonen definert i punktet $(x,y) = (0,0)$?
- Finn grensen når $(x,y)$ går mot $(0,0)$ langs linjen $x=0$.
- Finn grensen når $(x,y)$ går mot $(0,0)$ langs linjen $y=0$.
- Finn grensen når $(x,y)$ går mot $(0,0)$ langs linjen $y=kx$.
- Finn grensen når $(x,y)$ går mot $(0,0)$ langs linjen $y=kx^2$.
- Bruk polare koordinater for å finne grensen når $(x,y)$ går mot $(0,0)$.
- Eksisterer grensen når $(x,y)$ går mot $(0,0)$?
Gitt funksjonen:
$$f(x,y) = \frac{x^2(y-1)^2}{x^2 + (y-1)^2}$$- Er funksjonen definert i punktet $(x,y) = (0,1)$?
- Finn grensen når $(x,y)$ går mot $(0,1)$ langs linjen $x=0$.
- Finn grensen når $(x,y)$ går mot $(0,1)$ langs linjen $y=1$.
- Finn grensen når $(x,y)$ går mot $(0,1)$ langs linjen $y=1 + kx$.
- Finn grensen når $(x,y)$ går mot $(0,1)$ langs linjen $y=1 + kx^2$.
- Eksisterer grensen når $(x,y)$ går mot $(0,1)$?
Undersøk om følgende funksjoner er kontinuerlige:
a)
$$f(x,y) = x^2 + y^2 $$b)
$$g(x,y) = \frac{1}{x^2 + y^2} $$c)
$$h(x,y) = \frac{1}{x^2 + y^2 + 1} $$Bestem $a$ slik at funksjonen $f(x,y)$ blir kontinuerlig:
$$f(x,y) = \left\{ \begin{array}{cl} \frac{y^3}{x^2 + y^2}, & (x,y) \neq (0,0) \\ a, & (x,y) = (0,0) \end{array} \right. $$Bestem $g(y)$ slik at funksjonen $f(x,y)$ blir kontinuerlig:
$$f(x,y) = \left\{ \begin{array}{cl} \frac{xy - y}{x - 1}, & x \neq 1 \\ g(y), & x = 1 \end{array} \right. $$Gitt en funksjon:
$$f(x,y) = xy - 3x + 2y$$- Finn kritiske punkt.
- Klassifiser kritiske punkt.
Gitt en funksjon:
$$f(x,y) = x^2 + y^2 - 4x - 6y$$- Finn kritiske punkt.
- Klassifiser kritiske punkt.
Gitt en funksjon:
$$f(x,y) = x^2 - 2x - y^2$$- Finn kritiske punkt.
- Klassifiser kritiske punkt.
Gitt en funksjon:
$$f(x,y) = x^2 + xy + y^2 $$- Finn kritiske punkt.
- Klassifiser kritiske punkt.
Gitt en funksjon:
$$f(x,y) = x^2 - xy + y^2 $$- Finn kritiske punkt.
- Klassifiser kritiske punkt.
Gitt en funksjon:
$$f(x,y) = (x-1)^2 + (y+2)^2 $$- Finn kritiske punkt.
- Klassifiser kritiske punkt.
Gitt en funksjon:
$$f(x,y) = x^2 + y^2 - 4x - 2y + xy $$- Finn kritiske punkt.
- Klassifiser kritiske punkt.
Gitt en funksjon:
$$f(x,y) = 2x^3 - 6xy + 3y^2$$- Finn kritiske punkt.
- Klassifiser kritiske punkt.
Gitt en funksjon:
$$f(x,y) = x^3 - 3x + y^2$$- Finn kritiske punkt.
- Klassifiser kritiske punkt.
Gitt en funksjon:
$$f(x,y) = x^3 - 3xy^2 + 3y^2 $$- Finn kritiske punkt.
- Klassifiser kritiske punkt.
En partikkel følger en parametrisert kurve:
$$\begin{aligned} x(t) &= t^2 \\ y(t)&= 2t \end{aligned} $$- Finn koordinatene til partikkelen når $t = 2$.
- Finn hastigheten på parametrisert form når $t = 2$.
- Finn hastigheten til partikkelen når $t = 2$.
- Skisser kurven for $t \in [0,3]$
En partikkel følger en parametrisert kurve:
$$\begin{aligned} x(t) &= 2t + 1 \\ y(t)&= \frac{1}{2} t^2 - 1 \end{aligned} $$- Finn koordinatene til partikkelen når $t = 3$.
- Finn hastigheten på parametrisert form når $t = 3$.
- Finn hastigheten til partikkelen når $t = 3$.
- Skisser kurven for $t \in [0,4]$
En partikkel følger en parametrisert kurve:
$$\begin{aligned} x(t) &= t \\ y(t)&= \sin(t) \end{aligned} $$- Finn koordinatene til partikkelen når $t = 2$.
- Finn hastigheten på parametrisert form når $t = 2$.
- Finn hastigheten til partikkelen når $t = 2$.
- Skisser kurven for $t \in [0,8]$
En partikkel følger en parametrisert kurve:
$$\begin{aligned} x(t) &= 3 \cos(t) \\ y(t)&= 3 \sin(t) \end{aligned} $$- Finn koordinatene til partikkelen når $t = 2$.
- Finn hastigheten på parametrisert form når $t = 2$.
- Finn hastigheten til partikkelen når $t = 2$.
- Skisser kurven for $t \in [0,4]$
En partikkel følger en parametrisert kurve:
$$\begin{aligned} x(t) &= 3 + 3\cos(2t) \\ y(t)&= t + \sin(2t) \end{aligned} $$- Finn koordinatene til partikkelen når $t = 2$.
- Finn hastigheten på parametrisert form når $t = 2$.
- Finn hastigheten til partikkelen når $t = 2$.
- Skisser kurven for $t \in [0,4]$
Dypdykk 
Bonus 
Video