Matriser og egenverdiproblemer: System av differensialligninger

Hvordan løses systemer av differensialligninger?

Publisert 28. august 2024
Redigert 25. januar 2025

En førsteordens lineær differensialligning med konstante koeffisienter, kan skrives på formen:

$$y'(t) = ay(t) + k(t)$$

Et system av slike ligninger, kan skrives på formen:

$$\vec{y}\,'(t) = A\vec{y}(t) + \vec{k}(t)$$

der:

$$\vec{y}(t) = \left( \begin{array}{c} y_1(t) \\ y_2(t) \\ \vdots \\ y_n(t) \end{array} \right) \quad \textnormal{ og } \quad \vec{y}\,'(t) = \left( \begin{array}{c} y'_1(t) \\ y'_2(t) \\ \vdots \\ y'_n(t) \end{array} \right)$$

$A$ er en $n \times n$ koeffisientmatrise
$\vec{k}(t)$ er en vektorfunksjon av $t$ (dvs. ledd uten $y$)
- ligningssettet er homogent dersom $\vec{k}(t) = 0$
- ligningssettet er inhomogent dersom $\vec{k}(t) \neq 0$