Matriser og egenverdiproblemer: System av differensialligninger
Oppgaver med systemer av differensialligninger?
Publisert: 29. august 2025
Velg type oppgaver:
Antall oppgaver: 18
Tips 1: Husk at det ofte finnes flere måter å løse samme oppgave.
Tips 2: Gjør oppgavene du trenger, for å få den mengdetreningen du trenger.
Tips 3: Siden du er logget inn, kan du lagre hvilke oppgaver du har gjort ved å trykke på sirklene med spørsmålstegn.
Oppgave 1 Anta løsning på formen $y = Ce^{\lambda t}$ og finn generell løsning av differensialligningen:
$$y'(t) = 2y$$ Oppgave 2 Anta løsning på formen $y = Ce^{\lambda t}$ og finn generell løsning av differensialligningen:
$$y'(t) = -y$$ Oppgave 3 Gitt systemet av differensialligninger:
$$\begin{aligned} y_1'(t) = 2y_1 \\ y_2'(t) = -y_2 \end{aligned} $$- Skriv systemet på vektorform.
- Finn egenverdien(e)
- Finn egenvektoren(e)
- Finn den generelle løsningen
- Siden det ikke er noe kobling mellom de to ligningene, kan de løses hver for seg. Løs dem hver for seg og sammenlign løsningene med det du fikk i d).
Oppgave 4 Gitt systemet av differensialligninger:
$$\begin{aligned} y_1'(t) &= 2y_1 + 3y_2 \\ y_2'(t) &= -y_2 \end{aligned} $$- Skriv systemet på vektorform.
- Finn egenverdien(e)
- Finn egenvektoren(e)
- Finn den generelle løsningen
- Sjekk løsningen ved innsetting.
Oppgave 5 Gitt systemet av differensialligninger:
$$\begin{aligned} y_1'(t) &= 3y_1 + 4y_2 \\ y_2'(t) &= 5y_1 + 2y_2 \end{aligned} $$- Skriv systemet på vektorform.
- Finn egenverdien(e)
- Finn egenvektoren(e)
- Finn den generelle løsningen
- Sjekk løsningen ved innsetting.
Oppgave 6 Gitt systemet av differensialligninger:
$$\begin{aligned} x'(t) &= 4x + 2y \\ y'(t) &= 5x + y \end{aligned} $$- Skriv systemet på vektorform.
- Finn egenverdien(e)
- Finn egenvektoren(e)
- Finn den generelle løsningen
- Sjekk løsningen ved innsetting.
Oppgave 7 Gitt systemet av differensialligninger:
$$\begin{aligned} y_1'(t) &= 4y_1 + 2y_2 \\ y_2'(t) &= 2y_1 + y_2 \end{aligned} $$- Skriv systemet på vektorform.
- Finn egenverdien(e)
- Finn egenvektoren(e)
- Finn den generelle løsningen
- Sjekk løsningen ved innsetting.
Oppgave 8 ★Gitt systemet av differensialligninger:
$$\begin{aligned} y_1'(t) &= 2y_1 - 5y_2 \\ y_2'(t) &= y_1 - 2y_2 \end{aligned} $$- Skriv systemet på vektorform.
- Finn egenverdien(e)
- Finn egenvektoren(e)
- Finn den generelle løsningen
- Sjekk løsningen ved innsetting.
Oppgave 9 ★Gitt systemet av differensialligninger:
$$\begin{aligned} y_1'(t) &= 3y_1 - 2y_2 \\ y_2'(t) &= 8y_1 + 3y_2 \end{aligned} $$- Skriv systemet på vektorform.
- Finn egenverdien(e)
- Finn egenvektoren(e)
- Finn den generelle løsningen
- Sjekk løsningen ved innsetting.
Oppgave 10 Gitt systemet av differensialligninger:
$$\begin{aligned} y_1'(t) &= 3y_1 + 2y_2 \\ y_2'(t) &= y_1 + 2y_2 \end{aligned} $$der $y_1(0) = 8$ og $y_2(0) = 1$.
- Skriv systemet på vektorform.
- Finn egenverdien(e)
- Finn egenvektoren(e)
- Finn den generelle løsningen
- Bruk startbetingelsene til å bestemme løsningen.
Oppgave 11 Gitt systemet av differensialligninger:
$$\begin{aligned} y_1'(t) &= 2y_1 + y_2 \\ y_2'(t) &= y_1 + 2y_2 \end{aligned} $$der $y_1'(0) = 2$ og $y_2'(0) = -6$.
- Skriv systemet på vektorform.
- Finn egenverdien(e)
- Finn egenvektoren(e)
- Finn den generelle løsningen
- Bruk startbetingelsene til å bestemme løsningen.
Oppgave 12 Gitt systemet av differensialligninger:
$$\begin{aligned} y_1'(t) &= 2y_1 - y_2 \\ y_2'(t) &= y_1 + 2y_2 \end{aligned} $$der $y_1'(0) = 2$ og $y_2'(0) = 2$.
- Skriv systemet på vektorform.
- Finn egenverdien(e)
- Finn egenvektoren(e)
- Finn den generelle løsningen
- Bruk startbetingelsene til å bestemme løsningen.
Oppgave 13 Gitt systemet av differensialligninger:
$$\begin{aligned} y_1'(t) &= 3y_1 + 2y_2 \\ y_2'(t) &= -2y_2 + 4 \end{aligned} $$- Skriv systemet på vektorform.
- Finn egenverdien(e) til det homogene systemet
- Finn egenvektoren(e) til det homogene systemet
- Finn den generelle homogene løsningen
- Finn den partikulære løsningen
- Finn den generelle løsningen
Oppgave 14 Gitt systemet av differensialligninger:
$$\begin{aligned} y_1'(t) &= 3y_1 + 2y_2 + 1 \\ y_2'(t) &= -2y_2 + 4 \end{aligned} $$- Skriv systemet på vektorform.
- Finn egenverdien(e) til det homogene systemet
- Finn egenvektoren(e) til det homogene systemet
- Finn den generelle homogene løsningen
- Finn den partikulære løsningen
- Finn den generelle løsningen
Oppgave 15 Gitt systemet av differensialligninger:
$$\begin{aligned} y_1'(t) &= 3y_1 + 2y_2 + t \\ y_2'(t) &= -2y_2 + 4t \end{aligned} $$- Skriv systemet på vektorform.
- Finn egenverdien(e) til det homogene systemet
- Finn egenvektoren(e) til det homogene systemet
- Finn den generelle homogene løsningen
- Finn den partikulære løsningen
- Finn den generelle løsningen
Oppgave 16 Gitt systemet av differensialligninger:
$$\begin{aligned} y_1'(t) &= 3y_1 + 2y_2 + t \\ y_2'(t) &= -2y_2 + 4 \end{aligned} $$- Skriv systemet på vektorform.
- Finn egenverdien(e) til det homogene systemet
- Finn egenvektoren(e) til det homogene systemet
- Finn den generelle homogene løsningen
- Finn den partikulære løsningen
- Finn den generelle løsningen
Oppgave 17 Gitt systemet av differensialligninger:
$$\begin{aligned} y_1'(t) &= y_1 + 2y_2 + 3 e^{2t} \\ y_2'(t) &= 3y_1 + 6y_2 \end{aligned} $$- Skriv systemet på vektorform.
- Finn egenverdien(e) til det homogene systemet
- Finn egenvektoren(e) til det homogene systemet
- Finn den generelle homogene løsningen
- Finn den partikulære løsningen
- Finn den generelle løsningen
Oppgave 18 Gitt systemet av differensialligninger:
$$\begin{aligned} x'(t) &= 3x + y - 2 e^{-t} \\ y'(t) &= 5x - y + 3e^{-t} \end{aligned} $$der $y_1'(0) = 1$ og $y_2'(0) = -\frac{6}{5}$.
- Skriv systemet på vektorform.
- Finn egenverdien(e) til det homogene systemet
- Finn egenvektoren(e) til det homogene systemet
- Finn den generelle homogene løsningen
- Finn den partikulære løsningen
- Finn den generelle løsningen
- Bruk startbetingelsene til å bestemme løsningen.
Dypdykk 
Bonus 
Video